Richard KlitzingReskalierungssymmetrien quasiperiodischer Strukturen

Zum Inhalt

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der mathematischen Untersuchung quasiperiodischer Parkettierungen. Zwei bewährte Erzeugungsarten derartiger Parkettierungen werden in den ersten beiden Kapiteln dieser Arbeit besprochen und gegenübergestellt. Bei der ersten, der Projektionsmethode, geht es um ein Verfahren, das aus einem Teilbereich eines höherdimensionalen Gitters auf den darin eingebetteten physikalischen Modellraum projiziert. Eine ganz andere Methode, solche geometrischen Muster zu erzeugen, bietet der rekursive Aufbau immer größer werdender Gebiete aus wenigen Bausteinen mittels Skalierungs- und Zerschneidungsregeln, die eine Selbstähnlichkeit im Muster erzeugen.

Bezüglich des wechselseitigen Zusammenhangs dieser Modellierungen ist bisher nur wenig bekannt, und das auch nur in sehr einfachen Fällen. Die Klärung der gegenseitigen Beziehungen ist ein offenes Problem, dessen Lösung sich nicht nur auf die Theorie der geometrischen Strukturmodelle der Quasikristalle auswirkt. Diese Beziehungen bilden den ersten inhaltlichen Schwerpunkt der Arbeit. Ausgangspunkt und Grundlage sind dabei folgende Fragestellungen:

• Sind Substitutionsmuster im Rahmen der Projektionsmethode reinterpretierbar?
• Sind Projektionsmuster im Rahmen der Substitutionsmethode reinterpretierbar?
• Sind Ergebnisse aus Modellrechnungen im Rahmen der einen Methode in die jeweils andere übertragbar?
• Gibt es Grenzen? Und wo liegen sie?

Ein weiterer Schwerpunkt der Arbeit ist die lokale Charakterisierung der Klassen der jeweiligen Parkettierungen, die aus der Betrachtung verschiedener mittels beider Methoden beschreibbarer Parkettierungen gelang. Es handelt sich dabei um den Begriff der "Matching Rules", also lokaler Anbauregeln der Bausteine der Muster.

Ein dritter Schwerpunkt, der sich als roter Faden durch die ganze Arbeit zieht, ergibt sich aus der Untersuchung solcher Parkettierungen, die definitiv nur einer der beiden Erzeugungsmethoden fähig sind. Hier sind die Strukturen mit nicht-quadratischer Reskalierungsirrationalität geeignete Kandidaten. Ein wichtiger Punkt dabei ist das Zerfallen des internen Kodierungsraumes selbst bei minimaler Einbettung. Speziell das mögliche Reskalierungsverhalten der einzelnen Teilräume und dessen Auswirkung wird an verschiedenen Beispielen untersucht.

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